1. 이차함수
함수 y = f(x) 에서 f(x)가 x에 관한 이차식 y = ax² + bx + c(a,b,c는 상수, a≠0)로 나타내어 질 때
y 를 x에 관한 이차함수라 한다..
2. 이차함수 y = x²의 그래프
1) 포물선 : 이차함수의 그래프와 같은 모양의 곡선을 포물선이라 한다.
- 축 : 포물선은 선대칭도형으로 그 대칭축을 포물선의 축이라 한다.
- 꼭짓점 : 포물선과 축의 교점을 꼭짓점이라 한다.
2) 이차함수 y = x²의 그래프
- 그래프의 모양 : 아래로 볼록한 포물선
- 꼭짓점의 좌표 : 원점 (0,0)
- 축의 방정식 : x = 0 (y축)
- 그래프의 증가,감소 : x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
- y값의 범위 : y ≥ 0
3. 이차함수 y = ax²의 그래프
- 꼭짓점의 좌표 : 원점 (0,0)
- 축의 방정식 : x = 0 (y축)
- 그래프의 모양 : a > 0 이면 아래로 볼록한 포물선
a < 0 이면 위로 볼록한 포물선
- 그래프의 폭 : a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아진다.
a의 절댓값이 작을수록 폭이 넓어진다.
- y값의 범위 : a > 0이면 y ≥ 0
a < 0이면 y ≤ 0
4. 이차함수 y = ax²+q의 그래프
- 이차함수 y = ax²의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다.
- y = ax² >>(y축의 방향으로 q만큼 평행이동)>> y = ax²+q
- 꼭짓점의 좌표 : (0, q)
5. 이차함수 y=a(x-p)²의 그래프
- y = ax²의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동한 것이다.
- y = ax² >>(x축의 방향으로 p만큼 평행이동)>> y=a(x-p)²
- 꼭짓점의 좌표 : (p, 0)
6. 이차함수 y=a(x-p)² + q의 그래프
- 이차함수 y = ax²의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다.
- y = ax² >>(x축의 방향으로 p만큼 평행이동, y축의 방향으로 q만큼 평행이동)>> y=a(x-p)²+q
- 꼭짓점의 좌표 : (p, q)
7. 이차함수 y=ax² + bx + c의 그래프 : y = a(x-p)² + q의 꼴로 고쳐서 그린다.
- y=ax² + bx + c >>> y = a(x+b/2a)² - (b²+4ac)/4a
- 꼭짓점의 좌표 : (-b/2a, -(b²+4ac)/4a)
- 축의 방정식 : x = -b/2a
- y축 위의 점의 좌표 : (0, c)
8. 이차함수 y=ax² + bx + c 의 그래프와 x축, y축과의 교점
- x축과의 교점 : y=0일 때의 x의 값을 구한다.
- y축과의 교점 : x=0일 때의 y의 값을 구한다.
9. 이차함수 y=ax² + bx + c 의 그래프의 평행이동
- 이차함수 y=ax² + bx + c의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 이차함수 식
- y=ax² + bx + c >>> y = a(x-p)²+q 로 변경 >>> y=a{(x-m)-p}²+q+n
10. 이차함수 y=ax² + bx + c 의 그래프에서 a, b, c의 부호
1) a의 부호 : 그래프의 모양에 따라 결정된다.
- a > 0 : 아래로 볼록한 포물선
- a < 0 : 위로 볼록한 포물선
2) b의 부호 : 축의 위치에 따라 결정된다.
- 축이 y축의 왼쪽에 위치 >>> a,b는 서로 같은 부호 (ab>0)
- 축이 y축과 일치 >>> b = 0
- 축이 y축의 오른쪽에 위치 >>> a,b 는 서로 다른 부호 (ab>0)
3) c의 부호 : y축과의 교접의 위치에 따라 결정된다.
- y축과의 교점이 x축보다 위쪽 >>> c>0
- 원점을 지날 때 >>> c=0
- y축과의 교점이 x축보다 아래쪽 >>> c<0
11. 이차함수의 식 구하기
1) 꼭짓접의 좌표 (p,q)와 그래프 위의 다른 한 점을 알 때
이차함수의 식을 y = a(x-p)² + q로 놓고 다른 한 점의 좌표를 대입하여 a의 값을 구한다.
2) 축의 방정식 x=p와 그래프 위의 두 점을 알 때
이차함수의 식을 y = a(x-p)² + q로 놓고 주어진 두 점의 좌표를 대입하여 a, q의 값을 구한다.
3) 그래프 위의 서로 다른 세 점을 알 때
이차함수의 식을 y = ax² + bx + c 로 놓고 주어진 세 점의 좌표를 대입하여 a, b, c의 값을 구한다.